四元數系列：

四元數-基本概念

四元數-旋轉

四元數應用-轉矩陣Slerp插值與萬向節

四元數應用-旋轉混合順序無關

—————————————————————————————————————————

今天，我們來談談一些關于四元數的例子。與前兩篇文章相比，它們可能有點分散，這是對前兩章的補充說明。具體來說，我們將討論三個問題。第一個是四元數和矩陣的轉換，第二個是四元數的插入值。最后，我們來談談萬向節鎖的問題。話不多說，開始談話。

1.四元數矩陣形式

目前，大多數底層的圖形API，空間坐標的轉換仍然基于矩陣。因此，當我們使用四元數來操作旋轉時，最終傳輸給頂點著色器的數據應以矩陣的形式進行。然而，從應用層的角度來看，我們可以通過滿足以下公式來實現轉換。

我相信大多數人對背誦公式并不滿意。推導公式的主要方法有兩種。其中一個是從代數的角度解決問題。直率地說，這是一個硬算。我們在四元數和旋轉（2）中提到了一個公式：

我們可以找到三個矩陣，然后添加上述轉換公式。這里沒有推導，感興趣的人可以自己計算。以下是一種更靈性的證明方法。當給出以下兩個四元數時：

如下圖所示：

可以說，兩個四元數相乘轉換為矩陣L右乘四元數q。發散思維，把這種行為寫成矩陣R左乘四元數q，具體形式如下圖所示：

最體看L和R括號中的四元下標非常重要，因為四元不符合交換規律，括號中的下標實際上是不同的我們必須注意這個地方。基礎知識完成后，直接應用于下面。根據旋轉公式和上述定義，我們很容易得到以下公式：

然后將L和R在上述矩陣中，我們可以得到：

證畢！

2.四元數的Slerp插值

事實上，插值問題一直是圖形學中的一個經典問題。一般來說，線性插值可以滿足大多數情況，但對于旋轉，線性插值肯定不好。讓我們下圖：

很明顯，左圖(線插)比右圖(球插)差。從動畫的角度來看，為了保證每幀的旋轉均勻變化，線性插值得到的旋轉結果必須不均勻，主要考慮旋轉角度。然后我們從代數的角度來思考。如果兩個單位的四元數之間的插值，如左圖的線性插值，則得到的四元數不得為單位的四元數。我們希望旋轉插值不會改變長度，因此顯然右圖的球面（Slerp）插值更合理。

四元數球面插值證明很多，Wiki上面有非常詳細的證據和實現Code。事實上，主要思想是施密特正交。首先，根據 和 解算兩個正 交四元，然后通過加權計算最終 。下圖可以很好地解釋這件事。

下面主要討論的是這個問題。上圖給出了一種球面插值公式，暫時稱為加法形式。由于四元旋轉是相乘的，我們的上述公式也可以寫成:

鑒于刨根問底的精神，先說四元數的差異。（Difference），這更容易理解，類似于矩陣，A與B的差異可以理解為先旋轉A，然后旋轉B，得到A和B兩者之間的差值，表示為 。然后，如果我們去t倍差或直接說差乘以t因子，我們將引用四元數和旋轉（1）中提到的四元數指數形式。對于 ，我們來看看 和 具體情況如下：

最后我們令 以及 ，根據以下公式重新審視球面插值：

可見，兩種表現形式可以相互轉化。

三、萬向節死鎖

事實上，這個問題不能算作四元的應用。在萬向節鎖的早期階段，它被用來處理旋轉過程中機械臂缺乏自由度的問題。由于當時機械臂的關節是單自由的，在模擬人體的一些球形關節（自由度為3的關節）時，將使用三組正交機械關節進行模擬。

如圖所示，當關節2旋轉90時，機械關節1-3共同模擬手腕活動°之后關節1和關節3會重疊，所以旋轉關節1和旋轉關節3只會沿著 旋轉軸，這就是萬向節鎖。值得一提的是，當你旋轉關節1、關節2和關節3時，當你旋轉關節3時，無論如何旋轉都不會影響關節2和關節1，所以只有關節2旋轉90°萬向節鎖會產生。

當早期的計算機動畫移動機器人時，最簡單的方法是直接模擬歐拉角的旋轉。這導致了通用鎖。那么如何理解計算機動畫中的這個問題呢？畢竟，動畫中沒有機械關節。

假設三個歐拉角的旋轉順序如下

當 的時候， 和 它將重疊，如右圖，從而產生萬向節鎖。

因此，為了避免這個問題，圖形旋轉開始使用軸角，因為軸角可以說三個歐拉角等同于繞特定軸旋轉的角度。OpenGL有個函數glRotate實現函數的方法是使用軸角。當然，并不是說軸角沒有萬向鎖。當三個正交軸角按一定順序旋轉時，仍然會產生萬向鎖，但這種情況很難發生。

所以軸角解決了這個問題，為什么要用四元數？

4.總結四元數

最后點一個問題，呼應前面的文章，具體說說四元數的好處:

解決萬向節鎖（Gimbal Lock）問題。(不要用四元數模擬歐拉角?。┲恍璐鎯?個浮點，比矩陣輕。例如，矩陣至少需要9個float表示旋轉信息，即使加上旋轉縮放，也會比矩陣少存2-6個float，對于在PC游戲的開發可能并不明顯，畢竟，現在內存很大，但在家用機器（尤其是上一代）中，內存相對較緊是相當有利的。無論是求逆、串聯等操作，四元數都比矩陣更高效。例如，逆轉相當于逆轉。即使是正交矩陣，轉移的操作成本也遠高于逆轉。此外，在大多數情況下，由于縮放，逆轉操作將更加復雜。然而，使用四元數需要考慮轉換四元數和矩陣的成本，但綜合考慮，四元數的運行成本相對較低。

基本上四元數在我這里就結束了，以后會有人請人 @Obsver Anonym 請期待更新一篇具體應用的文章！