本文重點討論萬向節(jié)死鎖是什么，為什么會產(chǎn)生，因此，將逐步從旋轉(zhuǎn)的定義出發(fā)。

旋轉(zhuǎn)的定義

在一個給定的三維坐標系中，圍繞一個不動點的旋轉(zhuǎn)可以定義為任何點在旋轉(zhuǎn)前后，到不動點的距離都是不變的。公式是：

因為三點可以確定一個平面，所以x, f(x), p(即旋轉(zhuǎn)前的點、旋轉(zhuǎn)后的點、不動點)構成一個平面，稱為旋轉(zhuǎn)平面。根據(jù)旋轉(zhuǎn)定義，我們可以知道，x, f(x)這兩點到不動點的距離是相等的，所以x, f(x)事實上，以不動點為中心的圓上有兩點。如下圖所示，旋轉(zhuǎn)程度的概念可以用圓中的角度來定義，稱為旋轉(zhuǎn)角。

從上面可以發(fā)現(xiàn)，三維旋轉(zhuǎn)可以用旋轉(zhuǎn)平面、不動點、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角來定義。如果旋轉(zhuǎn)前的點是原始點，旋轉(zhuǎn)可以定義為:在旋轉(zhuǎn)平面上，以不動點為中心，以不動點到原始點的距離為半徑做一個圓，以原始點為起點在圓上畫一個弧。弧的中點為旋轉(zhuǎn)點。

旋轉(zhuǎn)代數(shù)表示

我們已經(jīng)知道，旋轉(zhuǎn)可以用旋轉(zhuǎn)平面、不動點、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角來定義，但如果計算機想要表示旋轉(zhuǎn)，它需要更多的代數(shù)表示，最好是向量和矩陣的排列。讓我們一個接一個地看看：

旋轉(zhuǎn)平面只是一個普通的平面，任何平面都可以用平面上的一點和垂直于平面的法向量來定義。我們知道原始點和不動點必須在旋轉(zhuǎn)平面上，所以用一個向量來表示旋轉(zhuǎn)平面就足夠了。不動點只是由相應的坐標值組成的向量。旋轉(zhuǎn)方向，我們可以定義旋轉(zhuǎn)方向平面的法向量，以滿足右手螺旋法則的方向。右手螺旋法則意味著舉起右手，豎起拇指，讓拇指向法向量方向，最后把剩下的四個手指放進手掌，然后四個手指的方向是旋轉(zhuǎn)的方向。旋轉(zhuǎn)角只是一個實數(shù)來表示大小。

綜上所述，如果一個旋轉(zhuǎn)需要代數(shù)來表示，則需要四件事：一個表示旋轉(zhuǎn)平面法線方向的向量，一個表示不動點的向量，一個表示旋轉(zhuǎn)角度的實數(shù)。

如果我們規(guī)定不動點是原點，并使用右手螺旋法來尋求旋轉(zhuǎn)方向，并稱旋轉(zhuǎn)平面法向量為旋轉(zhuǎn)軸，那么旋轉(zhuǎn)只有兩件事：旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)角-一個向量和一個實數(shù)。當我們說旋轉(zhuǎn)時，我們指的是這樣一個旋轉(zhuǎn)只由旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角表示。

旋轉(zhuǎn)的運算

上面最后指出，旋轉(zhuǎn)只能通過旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角來表示，因此它確實很容易被計算機存儲，但我們的最終目標是快速計算旋轉(zhuǎn)點的坐標。因此，我們不僅需要存儲，還需要一套方便的操作方法。

注：一般來說，旋轉(zhuǎn)操作有兩種方法，矩陣操作和四元數(shù)操作。這里只提到矩陣操作的想法，因為四元數(shù)，必須解釋數(shù)學，更麻煩，適當使用，四元數(shù)不會帶來通用鎖的問題。

通過疊加實現(xiàn)計算機中的計算旋轉(zhuǎn)。首先，很容易理解，如果你先做一個旋轉(zhuǎn)，然后做另一個旋轉(zhuǎn)，那么這兩個旋轉(zhuǎn)疊加的效果實際上相當于一個等效的旋轉(zhuǎn)，即兩個旋轉(zhuǎn)疊加或一個旋轉(zhuǎn)。這是因為根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，兩點到不動點的距離不會改變兩次旋轉(zhuǎn)。具體來說，如果原點是x，第一次旋轉(zhuǎn)變成了x一、二次旋轉(zhuǎn)后x2，那么x, x1, x2到不動點的距離是相等的，所以我們可以把x到x整個過程被視為單獨旋轉(zhuǎn)。

其次，我們應該能夠更容易地接受一個結(jié)論：任何旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)都可以由三個單獨繞組x,y,z軸的旋轉(zhuǎn)疊加。也就是說，如果C是任意旋轉(zhuǎn)，總會有繞x軸的旋轉(zhuǎn)X，繞y軸旋轉(zhuǎn)Y，旋轉(zhuǎn)z軸Z，使得C(p)=Z(Y(X(p)))。這里不展開這個結(jié)論。通過應用這個結(jié)論，計算機可以用三個旋轉(zhuǎn)疊加來表示任意旋轉(zhuǎn)。而繞x, y, z軸旋轉(zhuǎn)后的點比較容易得到。

以z軸為旋轉(zhuǎn)角θ例如，如果旋轉(zhuǎn)前點的坐標是

，旋轉(zhuǎn)后的坐標是

，則有

，如果以矩陣和向量的形式寫，那就是

。關于x, y軸的旋轉(zhuǎn)也可以用矩陣操作來表示。

矩陣之間可以通過乘法計算得到一個新的矩陣，所以如果繞組z,y,x軸的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為Z,Y,X，所以它們的乘積ZYX也是旋轉(zhuǎn)矩陣。

萬向節(jié)死鎖

從上面可以看出，我們總是可以用三個分別來表示繞組x,y,z軸旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積表示任何旋轉(zhuǎn)操作。這似乎沒有問題。事實上，在大多數(shù)情況下，沒有問題。

這里要稍微偏離一下話題，考慮一下自己的手臂。通過觀察手臂的結(jié)構，我們可以發(fā)現(xiàn)它大致是肩膀-肩關節(jié)-上臂-肘關節(jié)-小臂-腕關節(jié)-手。也就是說，我們用三個關節(jié)連接四個部分，這為我們的手臂提供了靈活性，因為我們的骨頭可以在關節(jié)處旋轉(zhuǎn)。如果沒有關節(jié)，手臂會筆直，不能彎曲。讓我們做一個不切實際的假設。假設肩關節(jié)只能沿z軸旋轉(zhuǎn)（上下抬起上臂），肘關節(jié)只能繞y軸旋轉(zhuǎn)（將手臂縮回胸部），腕關節(jié)只能繞x軸旋轉(zhuǎn)（讓拳頭像撥浪鼓一樣旋轉(zhuǎn)），然后攤開手，考慮手掌和手指的方向。假如我們的關節(jié)能360度旋轉(zhuǎn)，那就和上面提到的三個坐標軸一樣。在轉(zhuǎn)動肩關節(jié)時，顯然我們的手掌也會轉(zhuǎn)動，改變方向，這表明肘關節(jié)的轉(zhuǎn)動作用于手的轉(zhuǎn)動。顯然，肘關節(jié)和腕關節(jié)的旋轉(zhuǎn)也會影響到手，也就是說，三個關節(jié)的旋轉(zhuǎn)疊加在手上。另一方面，我們的手掌和手指可以朝任何方向，因為上面提到的任何旋轉(zhuǎn)都可以由三個坐標軸的旋轉(zhuǎn)疊加而成。好像沒問題。

但此時考慮一種情況，如圖所示(模型使用) ** gic poser web），抬起上臂，把小臂抬到胸前。然后嘗試腕關節(jié)和肩關節(jié)的旋轉(zhuǎn)，我們會發(fā)現(xiàn)這兩個不同關節(jié)的旋轉(zhuǎn)會使手掌的方向相同——它們都沿著z軸旋轉(zhuǎn)，即肩關節(jié)周圍的軸，而手指的方向是固定的。換句話說，我們應該分別沿著x軸，z軸這兩個方向的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)在變成了同一個方向的旋轉(zhuǎn)。

為什么會這樣？注意三個關節(jié)不是獨立的:肩關節(jié)的旋轉(zhuǎn)會帶動肘關節(jié)和腕關節(jié)的運動，肘關節(jié)的旋轉(zhuǎn)也會帶動腕關節(jié)的運動。就像這三個關節(jié)都會在手臂末端工作一樣，上面的關節(jié)也會影響下面的關節(jié)。同時旋轉(zhuǎn)肩關節(jié)會驅(qū)動肘關節(jié)和腕關節(jié)，因此對肘關節(jié)和腕關節(jié)旋轉(zhuǎn)的影響是相同的。但肘關節(jié)只能帶動腕關節(jié)，不能帶動肩關節(jié)。在上述情況下，將手臂抬到胸部的行為會轉(zhuǎn)動肘關節(jié)，從而影響腕關節(jié)，但不影響肩關節(jié)，導致腕關節(jié)旋轉(zhuǎn)的效果與肩關節(jié)旋轉(zhuǎn)相同。

回到原來的問題，在計算機中使用三個矩陣來表示任意旋轉(zhuǎn)也會有同樣的問題嗎？之所以會出現(xiàn)上述問題，是因為中間的關節(jié)會影響底部的關節(jié)，而不會影響頂部的關節(jié)。看看矩陣表示的旋轉(zhuǎn)。我們用它ZYX這個矩陣乘積表示任意旋轉(zhuǎn)，即p'=ZYXp，我們將Z,Y,X,ZYX這四個矩陣都寫出來看看:

若我們?nèi)?/p>

，則乘積變?yōu)?/p>

，注意到，無論我們?nèi)绾涡薷乃覀兌甲⒁獾剿取ⅵ眨疾粫淖儂’的值，z’始終等于-x。也就是說，當我們沿y軸旋轉(zhuǎn)90時°時，此時X,Z兩個旋轉(zhuǎn)矩陣都在旋轉(zhuǎn)z軸。這和以前手臂的情況是一樣的。因為矩陣的相乘作用也是有序的，我們先左乘X，再左乘Y，所以在乘Y的時候，其實已經(jīng)乘進去了。X。乘Z時，會對X和Y同樣的影響。所以這里的p相當于我們手掌和手指的方向，X相當于腕關節(jié)，Y相當于肘關節(jié)，Z相當于肩關節(jié)。Y會影響X，但不會影響XZ，使X成為與Z同軸旋轉(zhuǎn)的矩陣。

結(jié)語

本文介紹了計算機中旋轉(zhuǎn)的定義和操作方法，然后重點介紹了隨后的萬向節(jié)鎖問題。順便說一句，我想提一下萬向節(jié)。原萬向節(jié)之所以會出現(xiàn)萬向節(jié)死鎖問題，也是因為三個環(huán)不完全獨立，中間環(huán)會驅(qū)動最內(nèi)環(huán)，但不會影響最外環(huán)。萬向節(jié)死鎖問題是一個不可避免的問題，只要使用不相互獨立的三次旋轉(zhuǎn)來表示任意旋轉(zhuǎn)，就會帶來這個問題。然而，萬向節(jié)鎖并不可怕。它只會出現(xiàn)在極端值的中間旋轉(zhuǎn)中。如果我們只是想表示旋轉(zhuǎn)，萬向節(jié)鎖不會帶來任何問題。畢竟，我們總能找到三個沿坐標軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)來表示任意旋轉(zhuǎn)。萬向節(jié)死鎖只會導致飛機控制、旋轉(zhuǎn)插值等問題，需要連續(xù)旋轉(zhuǎn)疊加。因此，本文未提及的四元數(shù)在這方面的應用中被廣泛引用。

什么是萬向節(jié)死鎖，為什么會出現(xiàn)這個問題，真的困擾了我很久。僅此而已 ** 如有不正之處，請指出記錄。